L’énergie cinétique

Introduction

L’énergie cinétique \((E_c)\), la masse au repos \((m_0)\)  et la vitesse \((v)\) sont liées entre elles par des relations mathématiques faisant partie des mécaniques classique, relativiste et quantique.

En mécanique  classique la relation s’écrit: \(E_c=\frac{1}{2}m_0v^2\)(1). Cette équation concerne les vitesses lentes par rapport à la vitesse limite \((C)\) \(c = 2.997925*10^{8} ms^{-1}\)

La mécanique relativiste tient compte de la vitesse limite \((c)\) et s’exprime par la relation \(E_c = { {m_0c^2} \over \sqrt{1-β^2} } - m_0c^2\)(2)  avec  \(\beta²=\frac{v²}{c²}\)

L’énergie totale \(\)\(E_t=E_c+m_0c^2= {m_0c2\over\sqrt{1-\beta^2}}\)  (3)

La mécanique quantique concerne plus particulièrement le rayonnement électromagnétique. La vitesse est fixée à la valeur limite (C) et l’énergie est calculée par la relation \(E=h\nu\) (4), \(h\) représentant la constante de Planck et \(\nu\)la fréquence du rayon lumineux.

L’objectif de mes travaux est de rechercher une équation commune à ces trois théories.

La résolution de ce problème nécessite un choix entre opter pour une nouvelle théorie ou prendre comme référence les relations (1),(2),(3) et \((4)\). Cette dernière option me semble plus sûre, ces 4 équations étant vérifiées par l’expérience.

Dans ces relations l’énergie est calculée en fonction de la vitesse qui est selon le cas \(v\), \({v\over c}\)  ou \(c\).

L’équation recherchée devra impérativement être exprimée en fonction d’un seul paramètre qui sera la vitesse relativiste \(v\over c\) la mécanique relativiste est la seule théorie qui prend en compte ce rapport, la solution à notre problème se trouvera par conséquent dans l’équation:

\(E_t = E_c+ m_0c^2= {m0c^2 \over \sqrt{1-\beta^2} }\) \((3)\) avec  \(\beta^2 = {v^2\over c^2}\)

Le développement en série de la relation \(E_t= {m0c^2 \over \sqrt{1-\beta^2} }\) s’écrit:

\(E_t={1\over 2}m_0v^2+{3\over 8} m_0{v^4\over c^2}+{5\over 16}m_0{v^6\over c^4}+...\)

Ou encore :

\(E_t={1\over 2}m_0v^2(1+{3\over 4}{v^2\over c^2}+{5\over 8}{v^4\over c^4}+...)\)

On notera que pour des vitesses \(v\) très petites par rapport \(c\) nous retrouvons l’équation de la mécanique classique: \(E_c = {1\over 2}m_0v^2\). C’est une information très intéressante mais insuffisante, les équations relativistes (2) et (3) ont en effet l’inconvénient d’être formulées en fonction de la vitesse limite \(c\). L’idéal serait de les formuler en fonction de la vitesse relativiste \(v\), c’est l’objectif de cette étude qui par conséquent débutera par le calcul de\(\beta^2\).

Dans cette étude nous allons nous placer dans un référentiel galiléen et nous conformer au premier postulat de la relativité restreinte "les lois de la mécanique restent vraies dans les systèmes inertiels animés  d’un mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres".

Calcul du rapport \(\beta^2={v^2\over c^2}\)

Ce calcul peut être réalisé en utilisant la relation bien connue:

\(\gamma = {1 \over \sqrt{1-\beta^2}}\)(5) (facteur LORENTZ)

La relation (3) peut s’écrire:

\(E_c+m_0c^2=\gamma m_0c^2\)

\(\gamma={m_0c^2+Ec\over m_0c^2}\)

\(\gamma = {Ec \over m_0c^2}+1\) (6)

En élevant au carré l’équation (5) nous obtenons:

\(\gamma^2 = {1\over 1-\beta^2}\)

D’où on tire:

\(\beta^2 = {\gamma^2-1 \over \gamma^2}\)

Ce calcul peut être plus rapide en utilisant un nouveau paramètre qui apparaît dans l’équation (6) il s’agit du rapport \({Ec \over m0c^2}\) ce rapport de deux énergies que nous appellerons \(n\) est un nombre sans dimension c’est un nombre réel supérieur à zéro pour \(n=0\) , l’énergie cinétique \(E_c\) est nulle.

Nous pouvons par conséquent écrire : \({E_c \over m_0c^2}=n\) ou encore:

\(E_c=n m_0c^2\)(7)

L’équation (2) peut donc s’écrire:

\(E_c =nm_0c^2= {m0c^2 \over \sqrt{1-\beta^2}}-m_0c^2\)

en divisant les deux membres de cette égalité par  \(m_0c^2\) et en posant \(m_0c^2\ne0\), nous obtenons la relation:

\(n = {1\over \sqrt{1-\beta^2}}-1\) (8)

ou encore:

\(n+1 = {1\over \sqrt{1-\beta^2}}\) (8 bis)

En élevant au carré chacun des termes de cette égalité nous pouvons écrire:

\((n+1)^2 = {1\over 1-\beta^2}\)

D’où

\((n+1)^2(1-\beta^2)=1\)

Ou encore:

\((n+1)^2-\beta^2(n+1)^2=1\)

On a donc :  \(\beta^2(n+1)^2=(n+1)^2-1\) 

d’où on tire: 

\(\beta^2 = {(n+1)^2-1\over (n+1)^2}\)  (9)   ou encore  \(\beta^2 = {v^2\over c^2}={n^2+2n\over (n+1)^2}\)

Ce rapport est toujours inférieur à l’unité ce qui signifie que la vitesse \(v\) ne peut pas atteindre la valeur limite \(c\) 

On notera que la vitesse \(v\) est égale à:

\(c {\sqrt{n^2+2n} \over n+1}\) (9 bis)

Calcul de l'energie cinetique en fonction de la vitesse relativiste

Dans le cas particulier de la mécanique classique nous aurons:

\(E_c=nm_0c^2={1\over 2}m_0v^2\)

En divisant chacun des termes de cette égalité par \(m_0\) nous obtenons:

\(nc^2={v^2\over2}\)

d’où:

\({v^2\over c^2}=2n\)

exemple:

si \(v\) est égal à \(3*10^4ms^{-1}\), en prenant \(c=3*10^8ms^{-1}\) nous aurons  \({v^2 \over c^2}=10^{-8}\) avec \(n=0.5*10^{-8}\) ce calcul peut être réalisé à partir de l’équation (6) en effet:

\(\beta^2 = {(n+1)^2-1\over (n+1)^2}={n^2+2n\over n^2+2n+1}={v^2\over c^2}\), si \(n=0.5*10^{-8}\) nous pouvons éliminer \(n^2\) au numérateur de cette fraction et éliminer \(n^2\) et \(2n\) au dénominateur il reste donc  \({2n \over 1}\) nous retrouvons par conséquent \(\beta^2 = {v^2 \over c^2}=2n\)

L’équation (9) est donc applicable à la mécanique classique après élimination de quelques valeurs jugées négligeables pour le calcul. Ce procédé n’est pas acceptable en théorie car,
\({v^2 \over c^2} = {n^2+2n \over n^2+2n+1}\)

La prise en compte de la totalité de ces paramètres peut être réalisée en recherchant la relation entre \(c^2\)  et \(v^2\)

L’ équation \({v^2 \over c^2}={n^2+2n \over n^2+2n+1}\) peut en effet s’écrire:

\({v^2 \over c^2}={n(n+2) \over n(n+2)+1}\)

Dans cette égalité de deux proportions nous avons le produit des extrêmes qui est égal au produit des moyens d’où:

\(nc^2(n+2)=nv^2(n+2)+v^2\)

en divisant chacun des termes de cette égalité par \(n+2\) et en posant \(n+2\ne0\) ; \(n\ne-2\) (ce qui est toujours le cas \(n\) étant supérieur ou égal à zéro), nous obtenons la relation: \(nc^2=nv^2+{v^2\over n+2}\)

Pour obtenir l’équation générale recherchée il suffit de multiplier chacun des termes de cette égalité par \(m_0\) d’où:

\(E_c=nm_0c^2=nm_0v^2+ {m0v^2 \over n+2}\) (10)

Remarques concernant cette équation:

  • Dans cette égalité nous avons à la gauche du signe égal une énergie calculée en fonction de \(c^2\) et à la droite du signe égal une énergie exprimée en fonction de \(v^2\). La vitesse sera par conséquent une vitesse relativiste \({v \over c}\) qui peut être calculée à partir de l’équation (9).
  • Pour des vitesses relativistes lentes, nous pouvons éliminer \(nm_0v^2\) et \(n\) au dénominateur de la relation \({m0v^2 \over n+2}\)nous retrouvons par conséquent l’équation de la mécanique classique \(E_c={1\over 2}m_0v^2\).
  • On note la présence de 2 masses inertes \(nm_0\) et une masse pesante qui se situe dans la relation \({m0v^2 \over n+2}\)
  • Dans cette dernière équation \(({m0v^2 \over n+2})\) si \(v\) croît la masse \(m_0\) décroît. 

Appelons \(m_v\) la masse pesante à la vitesse \(v\), son énergie est égale à \({1 \over 2}m_vv^2\)

Nous pouvons par conséquent écrire l’égalité suivante:

\({1 \over 2}m_vv^2={m_0v^2\over n+2}\)

En divisant les 2 termes de cette égalité par \(v^2\)  on obtient:

\({1 \over 2}m_v={m0 \over n+2}\)

D’où \(m_v = {2m0 \over n+2}\) (11)

l’équation (10) peut donc s’écrire:

\(E_c=nm_0c^2=nm_0v^2+{1\over 2}m_vv^2\)  (12)

Ou encore : \(E_c=nm_0c^2=nm_0v^2+{m0v^2\over n+2}\)(12 bis)

Dans cette équation on retrouve les 2 masses inertes \(nm_0\) et la masse pesante \(m_v\).

Pour les 2 masses inertes \(nm_0\),  l’énergie est discontinue et proportionnelle au carré de la vitesse \(({nm_0c^2}et \) \(nm_0v^2)\)et pour la masse pesante \(m_v\), l’énergie est continue et égale à \({1 \over 2}m_vv^2\) la séparation des variables \(nm_0\) et\(m_v\) est par conséquent souhaitable leurs propriétés physiques étant différentes.