Commentaires sur les différentes masses

Commentaires concernant les masses \(m_v\) et \(m_d\)

Les masses \(m_v\) et \(m_d\) peuvent être calculées à partir des relations (11) et (13)

\(m_v = {2m_0 \over n+2}\) (11)

\(m_d = {nm_0 \over n+2}\) (13)

Ces deux masses sont présentes dans l’équation (16)

L’énergie totale Etv à la vitesse v est  en effet égale à : \(nm_0v^2+n{m_ov^2\over n+2}+{m_ov^2\over n+2}\)

Dans cette équation l’énergie de la masse inerte \(m_d\) est égale à: \(n{m_ov^2\over n+2}\) et l’énergie de la masse pesante \(m_v \)est égale à: \({m_ov^2\over n+2}\)

Les deux masses varient en fonction du niveau de l’énergie de la masse \(m_0\) qui est représentée par \(n\)

Pour une énergie nulle \(n=0\) la masse \(m_v\) est au repos  et égale à: \({2m_0 \over 2}=m_0\) et la masse \(m_d=0\)

Pour une énergie qui tend vers l’infini  la masse \(m_v\) tend vers \(0\) et la masse \(m_d\) tend vers \(m_0\)

Ces deux masses peuvent être calculées en fonction de \(\beta^2\)

Nous avons en effet : \(n+1 = {1\over \sqrt{1-\beta^2} }\) (8 bis)

Ou encore : \(n= {1\over \sqrt{1-\beta^2} }-1={1-\sqrt{1-\beta^2}\over \sqrt{1-\beta^2} }\)   en remplaçant \(n\) par sa valeur nous obtenons:

pour \(m_v={2m0\over n+2}m_v=2m_0/2+{1-\sqrt{1-\beta^2}\over \sqrt{1-\beta^2} }=2m_0/{2\sqrt{1-\beta^2}+1-\sqrt{1-\beta^2}\over \sqrt{1-\beta^2} }\)

d’où on tire:

\(m_v ={2m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\)(21)

pour \(m_d\)  nous aurons:

\(m_d=m_0-m_v\)

\(m_d=m_0-{2m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\)

\(m_d={m_0+m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }-{2m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\)

\(m_d={m_0-m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\)(22)

les équations \(m_v\) et \(m_d\) sont très intéressantes elles sont exprimées en fonction de \(m_0\) et de \(\beta^2\) cette présentation va nous permettre de calculer \(m_v\) et \(m_d\) en donnant à \(v\) les valeurs extrêmes
\(v=0\) et  \(v=c\)

Pour \(m_v\)  nous avons \(m_v={2m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\) (21)

Si   \(v=0\)   \(\beta^2=0\)   \(m_v= {2m0 \over 2}\) \(=m_0\)

Si  \(v=c\)    \(\beta^2=1\)   \(m_v={0\over 1}=0\)

Pour \(m_d\) nous avons \(m_d={m_0-m_0\sqrt{1-\beta^2}\over 1+\sqrt{1-\beta^2} }\) (22)

Si  \(v=0\)  \(\beta^2=0\)  \(m_d= {0 \over 1}=0\)

Si  \(v=c\)  \(\beta^2=1\) \(m_d= {m0 \over 1}=m_0\)

Dans la réalité \(\beta^2\) est toujours inférieur à 1 pour les valeurs de \(v\) très proches de la limite \(cm_v\) va tendre vers zéro et \(m_d\) va tendre vers \(m_0\)

en résumé:

si  \(v=0\)   \(m_v=m_0\) et  \(m_d=0\) l’énergie des deux masses est nulle

si  \(v=c\)   \(m_v=0\)  et  \(m_d=m_0\)l’énergie de \(m_v\) est nulle et l’énergie de \(m_d=m_0c^2\)

On notera que pour \(v=c\) l’énergie de la masse \(m_0\) est égale à  \(m_0c^2\) pour \(v=0\) l’énergie de cette masse est nulle.

Cette remarque concerne la réciproque de la relation  \(E=m_0c^2\). Je démontre en effet que le fait d’attribuer à une masse \(m_0\) au repos une énergie égale à \(m_0c^2\) est une erreur. La masse pesante au repos a une énergie nulle. En fonction de l’énergie cinétique, cette masse pesante va se transformer progressivement en masse inerte avec une énergie qui va tendre vers \(m_0c^2\).

Vous trouverez en annexe 1 le tableau représentant les variations des masses \(m_v\) et \(m_d\) en fonction de la vitesse relativiste \({v \over c}\) et de l’énergie cinétique \(E_c\) exprimée en multiples de \(m_0c^2\).

L’annexe 2 représente les variations de \(m_v\)et de \(m_d\) en fonction de l’énergie d’une masse \(m_0\).

Ces courbes mettent en évidence un point commun qui a pour abscisse \(2m_0c^2\)

Pour une énergie cinétique égale à \(2m_0c^2\) les masses \(m_v\) et \(m_d\) sont égales à \({m0 \over 2}\) il en est de même pour les quantités de mouvement : \({1 \over 2}m_0v\)  pour \(m_v\) et \(m_d\)

Ces deux égalités pourraient expliquer les phénomènes de formation de paires de particules. 

Pour des énergies cinétiques comprises entre \(0\) et \(2m_0c^2\) la masse pesante \(m_v\)  est supérieure à la masse inerte \(m_d\) à l’inverse pour des énergies cinétiques supérieures à \(2m_0c^2\) ce sont les masses inertes \(m_d\) qui sont supérieures aux masses pesantes \(m_v\).

Connaissant la masse \(m_0\) de la particule et son énergie cinétique il est possible de calculer les masses \(m_v\) et \(m_d\) en utilisant les équations (11) et (13)

La croissance de l’énergie permet de remonter le temps et de connaitre par conséquent l’évolution de l’état des particules. Cette nouveauté intéressera en particulier les astrophysiciens et les physiciens utilisant les accélérateurs de particules.

L’annexe 3 représente les variations des masses \(m_v\) et  \(m_d\) en fonction de la vitesse relativiste \({v \over c}\) ces courbes mettent en évidence un point commun pour \({v \over c}\) \(= 0.942809042\) à ce point nous avons \(m_v=m_d=m_0/2\) ce qui correspond à une énergie égale à \(2m_0c^2\) pour \(E_c =2m_0c^2\)  nous avons \(\beta^2=8/9\)  d’où \(v/c=2\) \({\sqrt2}/3 = 0.942809042\)