Rappels
L’énergie totale \(E_{tv}=E_c+({n\over n+1})^2m_0c^2=nm_0v^2+n {m_0v^2 \over n+2}+{m_0v^2 \over n+2}\) (16)
L’énergie cinétique \(E_c=nm_0c^2=nm_0v^2+{m0v^2\over n+2}\) (12 bis)
Pour passer de l’énergie totale \(E_{tv}\) à l’énergie cinétique \(E_c\) il suffit de soustraire l’énergie de la masse \(m_d\) aux deux termes de l’égalité (16): \(({n \over n+1})^2m_0c^2\) à gauche du signe égal et \({m_0v^2 \over n+2}\) à droite du signe égal \((n{n_0v^2 \over n+2}={n^2 \over (n+1)^2}m_0c^2(15))\) le même procédé est utilisé en mécanique relativiste, nous avons en effet:
\(E_c + m_0c^2 = {m0c^2 \over \sqrt{1-\beta^2}}\) (3)
Pour une vitesse égale à \(c\) l’énergie de \(m_d\) est égale à \(m_0c^2\) en retranchant cette énergie aux deux termes de l’égalité (3) nous obtenons la relation bien connue:
\(E_c = {m0c^2 \over \sqrt{1-\beta^2}}-m_0c^2\)
Dans les équations représentant les énergies \(E_{tv}\) et \(E_c\) nous avons:
\(m_v={2m0\over n+2}\) (11) et \(m_d={nm0\over n+2}\) (13)
Dans ce chapitre concernant les applications nous utiliserons également les équations permettant d’accéder aux calculs suivants:
le rapport\(\beta^2 = {(n+1)^2-1 \over (n+1)^2}\) (9) ou encore \(\beta^2 = {v^2\over c^2}={n^2+2n \over (n+1)^2}\)
la quantité de mouvement \(P=(n+1)m_0v\)(19)
le niveau de l’énergie de la masse \(m_0\) est représenté par le paramètre \(n\) tiré de l’équation \(E_c=nm_0c^2\) (7)
Cas de la mécanique classique
Cette mécanique concerne les vitesses lentes par rapport à la vitesse limite \(C\) elle intéresse en particulier l’astronomie.
Prenons comme exemple une vitesse égale à \(30km\) \(S^{-1}\)
Nous avons \(V=3*10^4mS^{-1}\) et en prenant \(C=3*10^8mS^{-1}\) nous aurons \({v^2 \over c^2}=10^{-8}\)
Pour une masse égale à \(m_0\) l’énergie cinétique est égale à \(m_0*(3*10^4)^2/2\) joules
\(m_0c^2=m_0*9*10^{16}\) joules
\(n=4.5*10^8/9*10^{16}=0.5*10^{-8}\)
La masse pesante \(m_v=2m_0/2+0.5*10^{-8}\) \(m_v=m_0\)
La masse inerte \(m_d=0.5*10^{-8}m_0/2+0.5*10^{-8}\) \(m_d=0.25*10^{-8}m_0\)
La masse inerte \(nm_0=0.5*10^{-8}m_0\)
Dans l’équation (16) les deux masses inertes \(m_d\) et \(nm_0\) sont négligeables par rapport à la masse pesante \(m_v \) qui est très proche de \(m_0\).
Nous retrouvons par conséquent l’équation de la mécanique classique \(E_c = {1 \over 2}m_0v^2\) (1).
Le calcul de la quantité de mouvement nous est donné par la relation \(P=(n+1)m_0v\) (19)
Cette quantité de mouvement sera égale à: \((1+0.5*10^{-8})m_0v=m_0v\)
Cas de la mécanique relativiste
Cette application concerne plus particulièrement les astrophysiciens et les physiciens qui utilisent les accélérateurs de particules.
Connaissant la valeur de \(n\) pour une masse \(m_0\), nous avons la possibilité de calculer: la vitesse relativiste, les masses \(m_d\) et \(m_v\) et leurs énergies respectives.
Exemple:
Dans le cas d’un électron soumis à une énergie de \(100\) \(MeV\) nous aurons:
\(n=100/0.511=195.7\)
\((n+1)^2=38690.89\)
\(\beta^2=0.9999741\)
\(\beta=0.999987\)
\(v=0.999987.c\)
\(m_v=2m_0/2+195.7=0.01012m_0\) \(m_0=9.11*10^{-31}\)\(kg\) \(m_v=9.22*10^{-33}\) kg
\(m_d=195.7m_0/2+195.7=0.98988m_0\) \(m_d=9.02*10^{-31}\) kg
l’énergie de \(m_v=0.01012m_0*0.9999741c^2/2=5.06*10^{-3}m_0c^2\)
l’énergie de \(m_d=0.98988m_0*0.9999741c^2=0.98985m_0c^2\)
on notera que pour \(n=195.7\) l’énergie de \(m_d\) est proche de sa valeur limite \((m_0c^2)\) la quantité de mouvement \(P=(n+1)m_0v\) (19)
Cas de la mécanique quantique
Calcul des vitesses proches de la vitesse limite C
La relation \(E=h\nu\) (4) concerne le rayonnement électromagnétique la vitesse est fixée à la valeur limite \(c\) et la masse pesante est nulle.
Dans l’équation \(E_{tv}=nm_0v^2+n{m_0v^2\over n+2}+{m_0v^2\over n+2}\) (16) la masse pesante \(m_v\) ne peut pas être nulle, la vitesse de la particule étant toujours inférieure à la vitesse limite \(c\).
Nous allons par conséquent appliquer l’équation (16) au cas particulier du rayonnement électromagnétique.
Dans cette relation si la vitesse \(\nu\) tend vers \(c\):
La masse \(m_v\) et son énergie \({m_0v^2 \over n+2}\) tendent vers zéro
La masse \(m_d\cong m_0\) et son énergie \(\cong m_0c^2\)
L’énergie du photon peut donc être exprimée par la relation:
\(E_t=nm_0c^2+m_0c^2\)
Cette équation peut être obtenue à partir de la relation de De Broglie appliquée au photon
\(\lambda={h\over mv}\)
\(mv=(n+1)m_0v\)
d’où \(\lambda={h\over (n+1)m_0v}\)
pour \(v=c\) nous aurons:
\(\lambda={h\over (n+1)m_0c}\)
or : \(\lambda={c\over\nu}\)
donc \({c\over\nu}={h\over (n+1)m_0c}\) d’où:
\(hv=(n+1)m_0c^2=nm_0c^2+m_0c^2\)
pour des valeurs élevées de \(n\) cette expression peut se réduire à:
\(h\nu=nm_0c^2\)
\(\nu\) a la dimension de l’inverse d’un temps et \(h\) la dimension d’une action, \(n\) est un nombre sans dimension.
Si nous donnons à \(\nu\) et à \(n\) les mêmes valeurs numériques \(n_1\) ces deux relations conduisent aux mêmes résultats nous aurons en effet:
pour \(h\nu\)\(:\)\(n1T^{-1}*ML^2T^{-1}=n1*ML^2T^{-2}\)
pour \(nm_0c^2\)\(:\) \(n1*ML^2T^{-2}\)
Pour la suite de cette étude nous allons opter pour la seconde solution. Ce choix va nous permettre d’avoir une approche assez précise de la vitesse du photon. Cette vitesse ne sera pas exprimée par une fraction de la constante \(c\) mais par l’écart relatif entre la constante \(c\) et la vitesse relativiste du photon.
Appelons \(\delta c\) cet écart
La vitesse est égale à \(c-\delta c=c(1-\delta)\)
Or \(\beta=(1-\delta)\)
\(\beta^2(1-\delta)^2=1-2\delta+\delta^2\)
La valeur de \(\delta^2\) est négligeable par rapport à \(1\) et à \(2\delta\) (nous verrons par la suite que pour une fréquence égale à \(10^{14}\) \(Hz\) \(\delta\)est de l'ordre de \(10^{-28}\) et \(\delta^2\) de l’ordre de \(10^{-56}\) nous pouvons par conséquent écrire: \(\beta^2=1-2\delta\) (23)
Or: \(n+1={1\over \sqrt{1-\beta^2}}\) (8 bis)
Ou: \((n+1)^2={1\over 1-\beta^2}\)
En remplaçant \(\beta^2\) par son égal \(1-2\delta\) (équation (23)) nous obtenons:
\((n+1)^2={1\over 2\delta}\) (24)
\((n+1)^2=n^2+2n+1\)
Dans le cas du rayonnement visible n est de l’ordre de \(10^{14}\) , \(2n\) et \(1\) sont donc négligeables par rapport à \(n^2\) nous pouvons donc écrire:
\(n^2={1\over 2\delta}\) ou \(\delta={1\over 2n^2}\) (25)
exemple pour \(n=10^{14}\) , \(n^2=10^{28} (2*10^{24}\) et \(1\) sont bien des grandeurs négligeables par rapport à \(10^{28}\)
\(\delta={1\over2n^2}={1\over2*10^{28}}=0.5*10^{-28}\)
\(\delta_v=0.5*10^{-28}*3*10^8ms^{-1}\)
\(\delta_v=1.5*10^{-20}ms^{-1}\)
La vitesse \(V\) est donc égale à \(3*10^8ms^{-1}-1.5*10^{-20}ms^{-1}\)
Pour apprécier ce faible écart nous allons imaginer une expérience pratiquement irréalisable, mais mathématiquement possible.
Soient deux rayons lumineux situés aux limites de la partie visible du spectre de la lumière (le rouge et le violet).
Pour le rouge nous allons prendre une fréquence \(\nu_r=n_r=4*10^{14}\) pour le violet \(\nu_v=n_v=7*10^{14}\)
les \(\delta\) respectifs de ces deux rayons sont:
\(\delta_r=1/2n_r^2=1/2*16*10^{28}=3.13*10^{-30}\)
\(\delta_v=1/2n_v^2=1/2*49*10^{28}=1.02*10^{-30}\)
Ces \(\delta\) calculés en vitesses nous donneront:
\(V_r=C-3.13*10^{-30}C\)
\(V_v=C-1.02*10^{-30}C\)
La différence entre ces deux vitesses est donc égale à:
\(V_v-V_r=(C-1.02^{-30}C)-(C-3.13*10^{-30}C)\)
\(V_v-V_r=3.13*10^{-30}C-1.02*10^{-30}C=2.11*10^{-30}*3*10^8ms^{-1}\)
\(V_v-V_r=6.33*10^{-22}ms^{-1}\)
L’expérience prévue va consister à fixer à nos deux photons un temps de parcours dans l’espace égal à l’âge de notre univers soit \(14\) milliards d’année traduit en secondes ce temps est égal à \(14*10^9*3.16*10^7\) secondes soit:
\(0.442*10^{18}\)secondes
Après ce long parcours dans l’espace à une vitesse très voisine de la limite \(C\) nos deux photons seront séparés de \(6.33*10^{-22}*0.442*10^{18}=2.8*10^{-4}m=0.28\) mm.
Dans nos calculs nous pouvons par conséquent admettre que la vitesse de la lumière est égale à la constante \(C\).
Sur le plan purement théorique la vitesse de la lumière n’est pas égale à \(C\), la lumière est composée d’un ensemble de photons, chaque photon ayant une vitesse \(V\) inférieure à \(C\).
Cette vitesse \(V\) est la même dans tous les référentiels en mouvement rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres.
Calcul de la vitesse de fuite de galaxies
Pour réaliser ce calcul nous allons utiliser la formule d’addition des vitesses relativistes qui s’écrit:
\(v_t = {v_0+v_g \over 1+v_0*v_g}\) (26)
Dans cette relation \(v_0\), \(v_g\) et \(v_t\) sont exprimés en fraction de la constante \(C\), cette fraction est égale à \(v_t\) pour la vitesse du photon dans le repère terrestre \(v_0\) pour la vitesse du même photon dans le repère de la galaxie et \(v_g\) pour la vitesse de déplacement de la terre par rapport à la galaxie (vitesse radiale).
A partir de l’équation (26) nous pouvons calculer \(v_g\)
\(v_0+v_g=v_t(1+v_0*v_g)\)
\(v_0+v_g=v_t+v_t*v_0*v_g\)
\(v_0-v_t=(v_t*v_0*v_g)-v_g\)
\(v_0-v_t=v_g(v_t*v_0-1)\)
\(v_g={v_0-v_t\over (v_t*v_0)-1}\) (27)
D’après la relation \(\beta=(1-\delta)\)
Pour \(v_t\)
Nous aurons : \(v_t=1-\delta_t\)
Et pour \(v_0\)
Nous aurons: \(v_0=1-\delta_0\)
En remplaçant dans l’équation (27) \(v_t\) et \(v_0\) par leurs nouvelles valeurs nous aurons:
\(v_g = {(1-\delta_0)-(1-\delta_t) \over (1-\delta_t)(1-\delta_0)-1}\)
\(v_g = {\delta_t-\delta_0 \over 1-(1-\delta_0-\delta_t+\delta_t*\delta_0)}\)
\(\delta_t*\delta_0\) est négligeable par rapport à 1, \(\delta_t\) et \(\delta_0\)
d’où: \(v_g={\delta_t-\delta_0\over \delta_0+\delta_t}\) (28)
Nous pouvons calculer \(v_g\) en fonction des fréquences en utilisant la relation \(\delta={1\over 2n^2}\) (25)
Appelons \(n_0\) la fréquence correspondante à \(\delta_0\) et \(n_t\) celle correspondant à \(\delta_t\)
Nous aurons donc : \(\delta_0={1\over 2n^2_0}\) et \(\delta_t={1\over 2n^2_t}\)
En remplaçant \(\delta_0\) et \(\delta_t\) par leurs nouvelles valeurs dans l’équation (28) nous pouvons écrire:
\(v_g=\) \({1\over2n^2_t}-{1\over 2n^2_0}\over {1\over2n^2_0}+{1\over 2n^2_t}\) \(=\) \({2n^2_0-2n^2_t\over 4n^2_t*n^2_0}\over {2n^2_t+2n^2_0\over 4n^2_0*n^2_t}\) \(=\) \({n^2_0}-{n^2_t}\over {n^2_t}+{n^2_0}\)
La vitesse radiale \(V_r\) est égale au produit de \(C\) par \(v_g\)
Nous aurons par conséquent:
\(V_r=C\) \({n^2_0-n^2_t}\over {n^2_t+n^2_0}\) (29)
Les astrophysiciens calculent les vitesses radiales des galaxies à partir du décalage des longueurs d’ondes des raies (effet DOPPLER – FIZEAU). Le déplacement des raies a lieu vers les courtes longueurs d’ondes si la source se rapproche de l’observateur et vers les grandes longueurs d’ondes pour un éloignement. Il se caractérise par un déplacement relatif \(Z = {\lambda-\lambda_0 \over \lambda_0}\) constant pour toutes les raies d’une même source.
La variation de fréquence est liée à la vitesse radiale par la relation:
\(n_t = n_0 {\sqrt{1-v_g\over1+v_g}}\) (30)
Cette équation peut s’écrire:
\(n^2_t =n^2_0 {1-n_g \over 1+n_g}\)
D’où : \({n^2_t\over n^2_0}={1-v_g\over 1+v_g}\)
Avec: \(n^2_t(1+v_g)=n^2_0(1-v_g)\))
\(n^2_t+n^2_tv_g=n^2_0-n^2_0v_g\)
\(n^2_0-n^2_t=n^2_0v_g+n^2_tv_g\)
D’où : \({v_g}={{n^2_0-n^2_t}\over {n^2_0+n^2_t}}\) (31)
Avec \({V_r=C}{{n^2_0-n^2_t}\over {n^2_0+n^2_t}}\)
Nous retrouvons ici la même équation que celle obtenue par la méthode d’addition des vitesses relativistes (équation (29)).
Connaissant les valeurs de \(n_0\) et \(n_t\),nous pouvons en déduire si nous sommes en présence d’un éloignement \(n_0>n_t\) ou d’un rapprochement \(n_0 \lt n_t\).